Глава 24. Приведение уравнения центральной линии второго порядка к простейшему виду

Пусть дано уравнение

(1)

определяющее центральную линию второго порядка (). Перенося начало координат в центр S(, ) этой линии и преобразуя уравнение (1) по формулам

, ,

получим

(2).

Для вычисления можно пользоваться формулой

или .

Дальнейшее упрощение уравнения (2) достигается при помощиь преобразования координат

, , (3)

соответствующео повороту осей на угол .

Если угол выбран так, что

(4)

то в новых координатах уравнение линии примет вид

(5)

где , .

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнение (4) позволяет определить , тогда как в формулах (3) участвуют и . Зная , можно найти и по формулам тригонометрии

, .

Между коэффициентами уравнений (1) и (5) существуют важные соотношения:

, ,

которые позволяют определить коэффициенты A’, C’, не проводя преобразований координат.

Уравнение второй степени называется эллиптическим, если , гиперболическим, если и параболическим, если .

Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или гиперболическим.

Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (то есть определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не опредляет никакого геометрического образа).

Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (то есть пару пересекающихся прямых).