Глава 24. Приведение уравнения линии второго порядка к простейшему виду

Глава 24. Приведение уравнения центральной линии второго порядка к простейшему виду

Пусть дано уравнение

(1)

определяющее центральную линию второго порядка (). Перенося начало координат в центр S(, ) этой линии и преобразуя уравнение (1) по формулам

, ,

получим

(2).

Для вычисления можно пользоваться формулой

или .

Дальнейшее упрощение уравнения (2) достигается при помощиь преобразования координат

, , (3)

соответствующео повороту осей на угол .

Если угол выбран так, что

(4)

то в новых координатах уравнение линии примет вид

(5)

где , .

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнение (4) позволяет определить , тогда как в формулах (3) участвуют и . Зная , можно найти и по формулам тригонометрии

, .

Между коэффициентами уравнений (1) и (5) существуют важные соотношения:

, ,

которые позволяют определить коэффициенты A’, C’, не проводя преобразований координат.

Уравнение второй степени называется эллиптическим, если , гиперболическим, если и параболическим, если .

Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или гиперболическим.

Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (то есть определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не опредляет никакого геометрического образа).

Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (то есть пару пересекающихся прямых).

673 Определить тип каждого из следующих уравнений; каждое из них путем параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:;

673.1

673.2 ;

673.3 ;

673.4 ;

673.5 .

674 Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов отноительно старых и новых осей координат:

674.1 ;

674.2 ;

674.3 ;

674.4 ;

674.5 .

675 Определить тип каждого из следующих уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших членов:

675.1 ;

675.2 ;

675.3 ;

675.4 ;

675.5 ;

675.6 .

676 Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы; оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решению, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

676.1 ;

676.2 ;

676.3 ;

676.4 ;

676.5 :

676.6 .

677 То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:

677.1 ;

677.2 ;

677.3 ;

677.4 ;

677.5 ;

677.6 ;

677.7 ;

677.8 .

678 Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти величины его полуосей:

678.1 ;

678.2 ;

678.3 ;

678.4 .

679 Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти ее координаты:

679.1 ;

679.2 ;

679.3 ;

679.4 .

680 Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти величины ее полуосей:

680.1 ;

680.2 ;

680.3 ;

680.4 .

681 Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гиперболу), и найти их уравнения:

681.1 ;

681.2 ;

681.3 ;

681.4 .

682 Не проводя преобразования координат, установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:

682.1 :

682.2 ;

682.3 ;

682.4 ;

682.5 .

683 Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов А и С не может обращаться в нуль и что они суть числа одного знака.

684 Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) определяет эллипс в том и тольк в том случае, когда А и суть числа разных знаков.

685 Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда А и суть числа одинаковых знаков.

686 Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) определяет вырожденный эллипс (точку) в том и только в том случае, когда =0.

687 Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (<0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда .

688 Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (<0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда =0.

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

673		Определить тип каждого из следующих уравнений; каждое из них путем параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:;
	673.1
	673.2	;
	673.3	;
	673.4	;
	673.5	.
674		Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов отноительно старых и новых осей координат:
	674.1	;
	674.2	;
	674.3	;
	674.4	;
	674.5	.
675		Определить тип каждого из следующих уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших членов:
	675.1	;
	675.2	;
	675.3	;
	675.4	;
	675.5	;
	675.6	.
676		Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы; оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решению, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:
	676.1	;
	676.2	;
	676.3	;
	676.4	;
	676.5	:
	676.6	.
677		То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:
	677.1	;
	677.2	;
	677.3	;
	677.4	;
	677.5	;
	677.6	;
	677.7	;
	677.8	.
678		Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти величины его полуосей:
	678.1	;
	678.2	;
	678.3	;
	678.4	.
679		Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти ее координаты:
	679.1	;
	679.2	;
	679.3	;
	679.4	.
680		Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти величины ее полуосей:
	680.1	;
	680.2	;
	680.3	;
	680.4	.
681		Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гиперболу), и найти их уравнения:
	681.1	;
	681.2	;
	681.3	;
	681.4	.
682		Не проводя преобразования координат, установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:
	682.1	:
	682.2	;
	682.3	;
	682.4	;
	682.5	.
683		Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов А и С не может обращаться в нуль и что они суть числа одного знака.
684		Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) определяет эллипс в том и тольк в том случае, когда А и суть числа разных знаков.
685		Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда А и суть числа одинаковых знаков.
686		Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (>0) определяет вырожденный эллипс (точку) в том и только в том случае, когда =0.
687		Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (<0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда .
688		Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (<0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда =0.