Глава 5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

Рассмотрим систему уравнений

, , (1)

с неизвестными x, y, z (коэффициенты , , …, и свободные члены , , предположим данными). Введем обозначения

, , , .

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется определителем данной системы.

Полезно заметить, что определители , , получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и, наконец, третьего столбца столбцом свободных членов данной системы. Если , то система (1) имеет единственное решение; оно определяется формулами

, , .

Предположим теперь, что определитель системы равен нулю: . Если в случае хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система (1) совсем не имеет решений.

В случае, когда и одновременно , , , система (1) также может совсем не иметь решений; но если система (1) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много различных решений. Однородной системой трех уравнений первой степени с тремя неизвестными называется система вида

, , (2)

то есть система уравнений, свободные члены которых равны нулю. Очевидно, что такая система всегда имеет решение: x=0, y=0, z=0; оно называется нулевым. Если , то это решение является единственным. Если же , то однородная система (2) имеет бесконечно много ненулевых решений.

Текст издания:	© Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач:	© Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное ;-)