Глава 1. Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел , , , :

. (1)

Число называется определителем второго порядка, соответствующего таблице (1). Этот определитель обозначается символом ; соотвественно имеем

. (2).

Числа , , , называются элементами определителя. Говорят, что элементы , лежат на главной диагонали определителя, , - на побочной. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,

.

Рассмотрим систему двух уравнений

, (3)

с двумя неизвестными x, y. (Коэффициенты , , , и свободные члены , предположим данными.) Введем обозначения

, , . (4)

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3), называется определителем этой системы. Определитель получается путем замены элементов первого столбца определителя свобдными членами системы (3); определитель при помощи замены свободными членами системы (3) элементов его второго столбца.

Если , то система (3) имеет единственное решение; оно определяется формулами

, .

Если и при этом хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместны).

Если же , но также , то система (3) имеет бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого).

Пусть в уравнениях системы (3) ; тогда система (3) будем иметь вид:

, . (6)

Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда имеет нулевое решение; x=0, y=0. Если , то это решение является единственным; если же , т о система (6), кроме нулевого, имеет бесконечно много других решений.

Текст издания:	© Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач:	© Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное ;-)