Глава 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике
В дальнейшем символ
означает, что
есть
радиус-вектор точки М.
| 1121 | Составить уравнение плсокости  , которая
проходит через точку М0( ) и
имеет нормальный вектор  . |
|
| 1122 | Доказать, что
уравнение  определяет плоскость,
перпендикулярную к ветору  . Написать уравнение
этой плоскости в координатах при условии, что n={A,
B, C}. |
|
| 1123 | Даны единичный
вектор 
и число р>0. Доказать, что
уравнение  определяет плоскость,
перпендикулярную к вектору , и что р есть
расстояние от начала координат до плоскости.
Написать уравнение этой плоскости в координатах
при условии, что вектор  образует с
координатными осями углы  ,  и  . |
|
| 1124 | Вычислить
расстояние d от точки М1( ) до
плоскости  . Выразить расстояние d также в
координатах при условии, что  ={x1; y1; z1},
 ={cos ; cos ; cos }. |
|
| 1125 | Даны две точки М1( ), M2( ). Составить
уравнение плоскости, которая проходит через
точку М1 перпендикулярно
к вектору  . Написать уравнение этой плоскости
также в координатах при условии, что  ={x1; y1; z1),
 ={x2; y2; z2}. |
|
| 1126 | Составить
уравнение плоскости, которая проходит через
точку М0( ) параллельно
векторам  ,  . Написать
уравнение этой плоскости также в координатах при
условии, что  ={x0;
y0; z0},  ={l1;
m1; n1}, ={l2,
m2, n2}. |
|
| 1127 | Составить
уравнение плоскости, проходящей через три точки
М1(r1), M2(r2), M3(r3).
Написать уравнение этой
плоскости также в координатах при условии, что  ={x1; y1; z1},
 ={x2; y2; z2},
 ={x3; y3; z3}. |
|
| 1128 | Составить
уравнение плоскости, которая проходит через
точку М0( ) перпендикулярно к
плоскостям  ,  . Написать
уравнение этой плоскости также в координатах при
условии, что  ={x0;
y0; z0},  ={A1;
B1; C1},  ={A2;
B2; C2}. |
|
| 1129 | Доказать, что
уравнение  определяет прямую,
которую проходит через точку М0( ) параллельно
вектору  , то есть что этому уравнению
удовлетворяет радиус-вектор  точки
М( ) в том, и только в в том случае, когда М
лежит на указанной прямой. |
|
| 1130 | Доказать, что
уравнение  определяет прямую,
параллельную вектору  . |
|
| 1131 | Доказать, что
параметрическое уравнение  , где t
– переменный параметр, определяет прямую,
которая проходит через точку М0( ) (т.е.
при изменении t точка М( ) движется по
указанной прямой). Написать в координатах
канонические уравнения этой прямой при условии,
что  ={x0; y0;
z0},  ={l; m; n}. |
|
| 1132 | Прямая проходит
через две точки М1( ) и М2( ). Составить
ее уравнения в виде, указанном в задачах 1129, 1130,
1131. |
|
| 1133 | Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку М1( ) перпендикулярно к прямой  . Написать
уравнение этой плоскости также в координатах при
условии, что  ={x1;
y1; z1},  ={l;
m; n}. |
|
| 1134 | Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку М0( ) параллельно прямым  ,  . |
|
| 1135 | Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку М0( ) перпендикулярно к плоскостям  ,  . |
|
| 1136 | Прямая проходит
через точку М0( ) перпендикулярно
к плоскости  . Составить ее уравнение в
параметрическом виде. Написать каноническое
уравнение этой прямой в координатах при условии,
что  ={x0; y0;
z0},  ={A; B; C}. |
|
| 1137 | Прямая проходит
через точку М0( ) параллельно
плоскостям  ,  . Составить
каноническое уравнение этой прямой в
координатах при условии,что  ={x0; y0; z0},
 ={A1; B1; C1},
 ={A2; B2; C2}. |
|
| 1138 | Вывести условие,
при котором прямая  лежит на плоскости  . Написать
это условие также в координатах при условии, что  ={x0; y0; z0},
 ={l; m; n},  ={A; B; C}. |
|
| 1139 | Составить
уравнение плоскости, проходящей через прямую  параллельно прямой  . |
|
| 1140 | Вывести условие,
пир котором две прямые  и  лежат
в одной плоскости. |
|
| 1141 | Найти радиус-вектор
точки пересечения прямой  и
плоскости  . Вычислить также координаты x, y, z
точки пересечения при условии, что  ={x0, y0, z0},
 ={l, m, n},  ={A; B; C}. |
|
| 1142 | Найти
радиус-вектора проекции М1( ) на
плоскость  . Вычислить также координаты x, y, z этой
проекции при условии, что  ={x1; y1; z1},  ={A; B; C}. |
|
| 1143 | Найти радиус-вектор
проекции точки M1( ) на
прямую  . Вычислить также координаты x, y, z этой
проекции при условии, что  ={x1; y1; z1},  ={x0, y0, z0},
 ={l, m, n}. |
|
| 1144 | Вычислить
расстояние d точки M1( ) от
прямой  . Выразить расстояние d также в
координатах при условии, что  ={x1; y1; z1},
 ={x0, y0, z0},
 ={l, m, n}. |
|
| 1145 | Вычислить
кратчайшее расстояние d между скрещивающимися
прямыми  и  . Выразить
расстояние d также в координатах при условии, что  ={x1; y1; z1},
 ={x2; y2; z2},
 ={l1; m1; n1},
 ={l2; m2; n2}. |
|
| 1146 | Доказать, что
уравнение  определяет сферу с
центром C( ) и радиусом, равным R (т.е. что этому
уравнению удовлетворяет радиус-вектор  точки
М в том и только в том случае, когда М лежит на
указанной сфере). |
|
| 1147 | Найти
радиус-векторы точек пересечения прямой  и сферы  . Вычислить также
координаты точек пересечения при условии, что  ={l; m; n}. |
|
| 1148 | Найти
радиус-векторы точек пересечения прямой  и сферы  . Вычислить также
координаты точек пересечения при условии, что  ={x0, y0, z0},
 ={l, m, n}. |
|
| 1149 | Точка M1( ) лежит
на сфере  . Составить уравнение касательной
плоскости к этой сфере в точке М. |
|
| 1150 | Составить
уравнение сферы, которая имеет центр С( ) и касается плоскости  . Написать
уравнение этой сферы также в координатах при
условии, что  ={x1;
y1; z1},  ={A;
B; C}. |
|
| 1151 | Составить
уравнения плоскостей, касательных к сфере  и параллельных плоскости  . Написать
уравнения этих плоскостей также в координатах
при условии, что  ={A; B; C}. |
|
| 1152 | Через точки
пересечения  и сферы  проведены
касательные плоскости к этой сфере. Составить их
уравнения. Написать уравнения этих плоскостей
также в координатах при условии, что  ={x0, y0, z0},
 ={l, m, n}. |
|
Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник
задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/ |
|