Глава 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение

(1)

определяет плоскость, проходящую через точку и имеющей нормальный вектор .

Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число буквой D, представим его в виде

.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

913		Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор n={1; -2; 3}.
914		Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n={5; 0; -3}.
915		Точка Р(2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
916		Даны точки M1(3; -1; 2), M2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору .
917		Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; 4; -5) параллельно векторам a1={3; 1; -1) и a2={1; -2; 1}.
918		Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) параллельно векторам a1={l1, m1, n1} и a2={l2; m2; n2}, может быть представлено в следующем виде: .
919		Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; -1; 3), M2(3; 1; 2) параллельно вектору a={3; -1; 4}.
920		Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) параллельно вектору a={l; m; n}, может быть представлено в следующем виде: .
921		Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1), М3(2; 0; 2).
922		Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3; y3; z3), может быть представлено в следующем виде: .
923		Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:
	923.1	;
	923.2	;
	923.3	;
	923.4	;
	923.5	;
	923.6	.
924		Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
	924.1	, ;
	924.2	, ;
	924.3	, .
925		Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
	925.1	, ;
	925.2	, ;
	925.3	, .
926		Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:
	926.1	, ;
	926.2	, ;
	926.3	, .
927		Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
	927.1	, ;
	927.2	, ;
	927.3	, .
928		Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
	928.1	, ;
	928.2	, ;
	928.3	, ;
	928.4	, .
929		Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости .
930		Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(3; -2; -7) параллельно плоскости .
931		Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям , .
932		Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; -1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям , .
933		Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) перпендикулярно к плоскостям , , может быть представлено в следующем виде: .
934		Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М1(1; -1; -2), M2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости .
935		Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) перпендикулярно к плоскости , может быть представлено в следующем виде: .
936		Установить, что три плоскости , , имеют общую точку, и вычислить ее координаты.
937		Доказать, что три плоскости , , проходят через одну прямую.
938		Доказать, что три плоскости , , пересекаются по трем различным параллельным прямым.
939		Определить, при каких значениях a и b плоскости , , :
	939.1	имеют одну общую точку;
	939.2	проходят через одну прямую;
	939.3	пересекаются по трем различным параллельным прямым.