Глава 33. Смешанное произведение трех векторов

Глава 33. Смешанное произведение трех векторов

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись , , означает, что вектор считается первым, - вторым, - третьим.

Тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы , , расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведенем трех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть .

Имеет место тождество, ввиду чего для обозначения смешанного произведения употребляется более простой символ . Таким образом,

, .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , взятого со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы , , компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение равно нулю; иначе говоря, равенство

есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов , , .

Если векторы , , заданы своими координатами:

, , ,

то смешанное произведение определяется формулой

.

Напомним, что система координатных осей предполагется правой (вместе с тем является правой и тройка векторов , , ).

865 Определить, какой является тройка , , (правой или левой), если

865.1 , , ;

865.2 , , ;

865.3 , , ;

865.4 , , ;

865.5 , , ;

865.6 , , .

866 Векторы , , , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что , , , вычислить .

867 Вектор перпендикулярен к векторам и , угол между и равен 30⁰. Зная, что , , , вычислить .

868 Доказать, что ; в каком случае здесь может иметь место знак равенства?

869 Доказать тождество .

870 Доказать тождество , где и - какие угодно числа.

871 Доказать, что векторы , , , удовлетворяющие условию , компланарны.

872 Доказать, что необходимым и достаточным условием компланарности векторов , , является зависимость , где по крайней мере одно из чисел , , не равно нулю.

873 Даны векторы ={1; -1; 3}, ={-2; 2; 1}, ={3; -2; 5}. Вычислить .

874 Установить, компланарны ли векторы , , , если:

874.1 ={2; 3; -1}, ={1; -1; 3}, ={1; 9; -11};

874.2 ={3; -2; 1}, ={2; 1; 2}, ={3; -1; -2};

874.3 ={2; -1; 2}, ={1; 2; -3}, ={3; -4; 7}.

875 Доказать, что точки А(1; 2; -1), B(0; 1; 5), C(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

876 Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A(2; -1; 1), B(5; 5; 4), C(3; 2; -1), D(4; 1; 3).

877 Даны вершины тетраэдра A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

878 Объем тетраэдра v=5, три его вершины находятся в точках A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy.

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

865		Определить, какой является тройка , , (правой или левой), если
	865.1	, , ;
	865.2	, , ;
	865.3	, , ;
	865.4	, , ;
	865.5	, , ;
	865.6	, , .
866		Векторы , , , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что , , , вычислить .
867		Вектор перпендикулярен к векторам и , угол между и равен 30⁰. Зная, что , , , вычислить .
868		Доказать, что ; в каком случае здесь может иметь место знак равенства?
869		Доказать тождество .
870		Доказать тождество , где и - какие угодно числа.
871		Доказать, что векторы , , , удовлетворяющие условию , компланарны.
872		Доказать, что необходимым и достаточным условием компланарности векторов , , является зависимость , где по крайней мере одно из чисел , , не равно нулю.
873		Даны векторы ={1; -1; 3}, ={-2; 2; 1}, ={3; -2; 5}. Вычислить .
874		Установить, компланарны ли векторы , , , если:
	874.1	={2; 3; -1}, ={1; -1; 3}, ={1; 9; -11};
	874.2	={3; -2; 1}, ={2; 1; 2}, ={3; -1; -2};
	874.3	={2; -1; 2}, ={1; 2; -3}, ={3; -4; 7}.
875		Доказать, что точки А(1; 2; -1), B(0; 1; 5), C(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
876		Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A(2; -1; 1), B(5; 5; 4), C(3; 2; -1), D(4; 1; 3).
877		Даны вершины тетраэдра A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
878		Объем тетраэдра v=5, три его вершины находятся в точках A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy.