Глава 32. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора равен , где - угол между векторами и ;

2). Вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;

3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

.

Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :

.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

,

где - орт векторного произведения.

Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, .

Если система координатных осей правая и векторы и заданы в этой системе своими координатами:

, ,

то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой

,

или

.

839		Векторы и образуют угол . Зная, что =6 и =5, вычислить .
840		Даны: =10, =2,. Вычислить .
841		Даны: =3, =26 и =72. Вычислить .
842		Векторы и взаимно перпендикулярные. Зная, что : =3, =4, вычислить:
	842.1	;
	842.2	.
843		Векторы и образуют угол . Зная, что =1, =2, вычислить:
	843.1	;
	843.2	;
	843.3	.
844		Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы векторы и были коллинеарны?
845		Доказать тождество .
846		Доказать, что ; в каком слуае здесь будет знак равенства?
847		Даны произвольные векторы , , , . Доказать, что векторы , , компланарны.
848		Векторы , , удовлетворяют условию . Доказать, что .
849		Векторы , , и связаны соотношениями , . Доказать коллинеарность векторов и .
850		Даны векторы ={3; -1; -2} и ={1; 2; -1}. Найти координаты векторных произведений:
	850.1	;
	850.2	;
	850.3	.
851		Даны точки A(2; -1; 2), B(1; 2; -1), C(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений:
	851.1	;
	851.2	.
852		Сила ={3; 2; -4} приложена к точке А(2; -1; 1). Определить момент этой силы относительно начала координат.
853		Сила ={2; -4; 5} приложена к точке M0(4; -2; 3). Определить момент этой силы относительно точки A(3; 2; -1).
854		Сила ={3; 4; -2} приложена к точке С(2; -1; -2). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.
855		Сила ={2; 2; 9} приложена к точке А(4; 2; -3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С(2; 4; 0).
856		Даны три силы ={2; -1; -3}, ={3; 2; -1}, ={-4; 1; 3}, приложенных к точке С(-4; 1; 3), приложенные к точке С(-1; 4; -2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А(2; 3; -1).
857		Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС.
858		Даны вершины треугольника А(1; -1; 2), В(5; -6; 2) и С(1; 3; -1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
859		Вычислить синус угла, образованного векторами ={2; -2; 1}, ={2; 3; 6}.
860		Вектор , перпендикулярный к векторам ={4; -2; -3} и ={0; 1; 3}, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что =6, найти его координаты.
861		Вектор , перпендикулярный к оси Oz и к вектору ={8; -15; 3}, образует острый угол с осью Ox. Зная, что =51, найти его координаты.
862		Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к векторам ={2; -3; 1} и ={1; -2; 3} и удовлетворяет условию .
863		Доказать тождество .
864		Даны векторы ={2; -3; 1}, ={-3; 1; 2}, ={1; 2; 3}. Вычислить и .

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/