Глава 31. Скалярное произведение векторов

Глава 31. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов , обозначается символом (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ).

Если угол между векторами , обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой

(1)

Скалярное произведение векторов , можно выразить также формулой

, или .

Из формулы (1) следует, что , если - острый угол, , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны (в частности, , если или ).

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.

Если векторы и заданы своими координатами:

, ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.

Угол между векторами

, ,

дается формулой , или в координатах

.

Проекция произвольного вектора на какую-нибудь ось u определяется формулой

,

где - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы , , , которые оси u составляет с координатными осями, то и для вычисления вектора может служить формула

.

795 Векторы и образуют угол , зная, что =3, =4, вычислить:

795.1 ;

795.2 ;

795.3 ;

795.4 ;

795.5 ;

795.6 ;

795.7 ;

796 Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные ; зная, что =3, =5, =8, вычислить:

796.1 ;

796.2 ;

796.3 .

797 Доказать справедливость тождества и выяснить его геометрический смысл.

798 Доказать, что ; в каких случаях здесь может иметь место знак равенства?

799 Считая, что каждый из векторов , , отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство .

800 Даны единичные вектторы , , , удовлетворяющие условию . Вычислить .

801 Даны векторы , , , удовлетворяющие условию . Зная, что =3, =1, =4, вычислить .

802 Векторы , , попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 60⁰. Зная, что =2, =2, =6, определить модуль вектора .

803 Дано, что =3, =5. Определить, при каком значении векторы , будут взаимно перпендикулярны.

804 Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен к вектору .

805 Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .

806 Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .

807 Даны векторы и , совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти разложение вектора, приложенного к вершине В этого треугольника и совпадающего с его высотой BD по базису , .

808 Векторы и образуют угол ; зная, что , , вычислить угол между векторами и .

809 Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равноберденного прямоугольного треугольника.

810 Определить геометрическое место концов переменного вектора , если его начало находится в данной точке А и вектор удовлетворяет условию , где - данный вектор и - данное число.

811 Определить геометрическое место концов переменного вектора , если его начало находится в данной точке А и вектор удовлетворяет условиям , , где и - данные неколлинеарные векторы и , - данные числа.

812 Даны векторы ={4; -2; -4}, ={6; -3; 2}. Вычислить:

812.1 ;

812.2 ;

812.3 ;

812.4 ;

812.5 ;

812.6 .

813 Вычислить, какую работу произведет сила f={3; -5; 2}, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора ={2; -5; -7}.

814 Даны точки A(-1; 3; -7), B(2; -1; 5), C(0; 1; -5). Вычислить:

814.1 ;

814.2 ;

814.3 ;

814.5 Найти координаты векторов и .

815 Вычислить, какую работу производит сила f={3; -2; -5}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A(2; -3; 5} в положение B(3; -2; -1).

816 Даны силы ={3; -4; 2}, ={2; 3; -5}, ={-3; -2; 4}, приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M₁(5; 3; -7) в положение M₂(4; -1; -4).

817 Даны вершины четырехугольника A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1), D(-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.

818 Определить, при каком значении векторы и взаимно перпендикулярны.

819 Вычислить косинус угла, образованного векторами ={2; -4; 4} и ={-3; 2; -6}.

820 Даны вершины треугольника A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1). Определить его внутренний угол при вершине В.

821 Даны вершины треугольника A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине А.

822 Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами A(1; 2; 1), B(3; -1; 7), C(7; 4; -2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный.

823 Вектор , коллинеарный вектору ={6; -8; -7,5}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что =50, найти его координаты.

824 Найти вектор , коллинеарный вектору ={2; 1; -1} и удовлетворяющий условию .

825 Вектор , перпендикулярный к векторам и , образует с осью Oy тупой угол. Найти его координаты, зная, что .

826 Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к ={2; 3; -1}, ={1; -2; 3} и удовлетворяет условию .

827 Даны векторы ={3; -1; 5}, ={1; 2; -3}. Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям , .

828 Даны векторы , и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .

829 Найти проекцию вектора ={4; -3; 2} на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

830 Найти проекцию вектора ={; -3; -5} на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oz углы , , а с осью Oy – острый угол .

831 Даны точки A(3; -4; -2), B(2; 5; -2). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oy углы , , а с осью Oz – тупой угол .

832 Вычислить проекцию вектора ={5; 2; 5} на ось вектора ={2; -1; 2}.

833 Даны векторы , , . Вычислить .

834 Даны векторы ={1; -3; 4}, ={3; -4; 2} и ={-1; 1; 4}. Вычислить .

835 Даны векторы , , . Вычислить .

836 Сила, определяемая вектором ={1; -8; -7}, разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .

837 Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислить проекцию вектора ={1; -3; 1} на ось вектора .

838 Даны точки A(-2; 3; -4), B(3; 2; 5), C(1; -1; 2), D(3; 2; -4). Вычислить .

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

795		Векторы и образуют угол , зная, что =3, =4, вычислить:
	795.1	;
	795.2	;
	795.3	;
	795.4	;
	795.5	;
	795.6	;
	795.7	;
796		Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные ; зная, что =3, =5, =8, вычислить:
	796.1	;
	796.2	;
	796.3	.
797		Доказать справедливость тождества и выяснить его геометрический смысл.
798		Доказать, что ; в каких случаях здесь может иметь место знак равенства?
799		Считая, что каждый из векторов , , отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство .
800		Даны единичные вектторы , , , удовлетворяющие условию . Вычислить .
801		Даны векторы , , , удовлетворяющие условию . Зная, что =3, =1, =4, вычислить .
802		Векторы , , попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 60⁰. Зная, что =2, =2, =6, определить модуль вектора .
803		Дано, что =3, =5. Определить, при каком значении векторы , будут взаимно перпендикулярны.
804		Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен к вектору .
805		Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .
806		Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .
807		Даны векторы и , совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти разложение вектора, приложенного к вершине В этого треугольника и совпадающего с его высотой BD по базису , .
808		Векторы и образуют угол ; зная, что , , вычислить угол между векторами и .
809		Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равноберденного прямоугольного треугольника.
810		Определить геометрическое место концов переменного вектора , если его начало находится в данной точке А и вектор удовлетворяет условию , где - данный вектор и - данное число.
811		Определить геометрическое место концов переменного вектора , если его начало находится в данной точке А и вектор удовлетворяет условиям , , где и - данные неколлинеарные векторы и , - данные числа.
812		Даны векторы ={4; -2; -4}, ={6; -3; 2}. Вычислить:
	812.1	;
	812.2	;
	812.3	;
	812.4	;
	812.5	;
	812.6	.
813		Вычислить, какую работу произведет сила f={3; -5; 2}, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора ={2; -5; -7}.
814		Даны точки A(-1; 3; -7), B(2; -1; 5), C(0; 1; -5). Вычислить:
	814.1	;
	814.2	;
	814.3	;
	814.5	Найти координаты векторов и .
815		Вычислить, какую работу производит сила f={3; -2; -5}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A(2; -3; 5} в положение B(3; -2; -1).
816		Даны силы ={3; -4; 2}, ={2; 3; -5}, ={-3; -2; 4}, приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M₁(5; 3; -7) в положение M₂(4; -1; -4).
817		Даны вершины четырехугольника A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1), D(-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.
818		Определить, при каком значении векторы и взаимно перпендикулярны.
819		Вычислить косинус угла, образованного векторами ={2; -4; 4} и ={-3; 2; -6}.
820		Даны вершины треугольника A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1). Определить его внутренний угол при вершине В.
821		Даны вершины треугольника A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине А.
822		Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами A(1; 2; 1), B(3; -1; 7), C(7; 4; -2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный.
823		Вектор , коллинеарный вектору ={6; -8; -7,5}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что =50, найти его координаты.
824		Найти вектор , коллинеарный вектору ={2; 1; -1} и удовлетворяющий условию .
825		Вектор , перпендикулярный к векторам и , образует с осью Oy тупой угол. Найти его координаты, зная, что .
826		Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к ={2; 3; -1}, ={1; -2; 3} и удовлетворяет условию .
827		Даны векторы ={3; -1; 5}, ={1; 2; -3}. Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям , .
828		Даны векторы , и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .
829		Найти проекцию вектора ={4; -3; 2} на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
830		Найти проекцию вектора ={; -3; -5} на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oz углы , , а с осью Oy – острый угол .
831		Даны точки A(3; -4; -2), B(2; 5; -2). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oy углы , , а с осью Oz – тупой угол .
832		Вычислить проекцию вектора ={5; 2; 5} на ось вектора ={2; -1; 2}.
833		Даны векторы , , . Вычислить .
834		Даны векторы ={1; -3; 4}, ={3; -4; 2} и ={-1; 1; 4}. Вычислить .
835		Даны векторы , , . Вычислить .
836		Сила, определяемая вектором ={1; -8; -7}, разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .
837		Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислить проекцию вектора ={1; -3; 1} на ось вектора .
838		Даны точки A(-2; 3; -4), B(3; 2; 5), C(1; -1; 2), D(3; 2; -4). Вычислить .