Глава 27. Декартовы координаты в пространстве

Глава 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве

Декартова прямоугольна система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси - координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья - осью апликат.

Начало координат обозначается буквой О, координатные оси - соответственно символами Ox, Oy, Oz.

Пусть М - произвольная точка пространства, , , - ее проекции на координатные оси (рис. 1).

Координатами точки М в заданной системе называются числа , , (рис.1), где - величина отрезка оси абсцисс, - величина отрезка оси ординат, - величина отрезка оси апликат. Число х называется абсциссой, у - ординатой, z - апликатой точки М. Символ M(x, y, z) обозначает, что точка М имеет координаты x, y, z.

Плоскость Oyz разделяет все пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Ох, называется ближним, другое дальним. Плоскость Oxz также разделяет пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Оу, называется правым, другое - левым. Наконец, и плоскость Oxy разделяет пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Oz, называется верхним, другое - нижним.

Три плоскости Oxy, Oxz, Oyz вместе разделяют пространство на восемь частей; их называют координатными октантами и нумеруют так, как показано на рис. 2.

719 Построить (в аксонометрической проекции) следующие точки по их декартовым координатам: A(3; 4; 6), B(-5; 3; 1), C(1; -3; -5), D(0; -3; 5), E(-3; -5; 0), F(-1; -5; -3).

720 Найти координаты проекций точек A(4; 3;5 ), B(-3; 2; 1), C(2; –3; 0), D(0; 0; -3): 1). На плоскость Oxy; 2). На плоскость Oxz, 3). На плоскость Oyz, 4). На ось абсцисс, 5). На ось ординат; 6). На ось апликат.

721 Найти координаты точек, симметричных точкам A(2; 3; 1), B(5; -3; 2), C(-3; 2; 1), D(a; b; c) относительно: 1). Плоскости Oxy, 2). Плоскости Oxz, 3). Плоскости Oyz, 4). Оси абсцисс, 5). Оси ординат, 6). Оси апликат, 7). Начала координат.

722 Даны четыре вершины куба A(-a; -a; -a), B(a; -a; -a), C(-a; a; -a), D(a; a; a). Определить его остальные вершины.

723 В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют одному из следующих условий: 1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5). ; 6). .

724 В каких октантах могут быть расположены точки, если: 1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5). .

725 Найти центр шара радиуса R=3, который касается всех трех координатных плоскостей и расположен: 1). Во втором октанте, 2). В пятом октанте, 3). В шестом октанте, 4). В седьмом октанте, 5). В восьмом октанте.

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

719		Построить (в аксонометрической проекции) следующие точки по их декартовым координатам: A(3; 4; 6), B(-5; 3; 1), C(1; -3; -5), D(0; -3; 5), E(-3; -5; 0), F(-1; -5; -3).
720		Найти координаты проекций точек A(4; 3;5 ), B(-3; 2; 1), C(2; –3; 0), D(0; 0; -3): 1). На плоскость Oxy; 2). На плоскость Oxz, 3). На плоскость Oyz, 4). На ось абсцисс, 5). На ось ординат; 6). На ось апликат.
721		Найти координаты точек, симметричных точкам A(2; 3; 1), B(5; -3; 2), C(-3; 2; 1), D(a; b; c) относительно: 1). Плоскости Oxy, 2). Плоскости Oxz, 3). Плоскости Oyz, 4). Оси абсцисс, 5). Оси ординат, 6). Оси апликат, 7). Начала координат.
722		Даны четыре вершины куба A(-a; -a; -a), B(a; -a; -a), C(-a; a; -a), D(a; a; a). Определить его остальные вершины.
723		В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют одному из следующих условий: 1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5). ; 6). .
724		В каких октантах могут быть расположены точки, если: 1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5). .
725		Найти центр шара радиуса R=3, который касается всех трех координатных плоскостей и расположен: 1). Во втором октанте, 2). В пятом октанте, 3). В шестом октанте, 4). В седьмом октанте, 5). В восьмом октанте.