Глава 23. Центр линии второго порядка

Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:

(1)

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S(, ) является центром линии, определяемой уравнением (1), в том и только в том случае, когда ее кординаты удовлетворяют уравнениям:

, (2)

Обозначим через определитель этой системы:

.

Величина составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

Если , то система (2) является совместной и определенной, то есть имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам

, .

Неравенство служит признаком центральной линии второго порядка.

Если S(, ) - центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам

,

(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее уравнение примет вид

где A, B, C те же, что в данном уравнении (1), а определяется формулой

.

В случае имеет место также следующая формула:

,

где

.

Определитель называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.

665		Установить, какие из следующих линий являются центральными (т.е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:
	665.1	;
	665.2	;
	665.3	;
	665.4	;
	665.5	;
	665.6	;
	665.7	;
	665.8	.
666		Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из них найти координаты центра:
	666.1	;
	666.2	;
	666.3	;
	666.4	.
667		Установить, что каждая из следующих линий имеет бесконечно много центров; для каждой из них составить уравнение геометрического места центров:
	667.1	;
	667.2	;
	667.3	.
668		Установить, что следующие уравнения определяют центральные линии; преобразовать каждое из них путем переноса начала координат в центр:
	668.1	;
	668.2	;
	668.3	;
	668.4	.
669		При каких значениях m и n уравнение определяют:
	669.1	центральную линию;
	669.2	линию без центра;
	669.3	линию, имеющую бесконечного много центров.
670		Дано уравнение линии . Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :
	670.1	пересекает эту линию в одной точке;
	670.2	касается этой линии;
	670.3	пересекает эту линию в двух точках;
	670.4	не имеет общих точек с этой линией.
671		Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку M(6; -2) и касается прямая в точке N(2; 0).
672		Точка Р(1; -2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Q(0; -3) и касается линии Ох в начале координат. Составить уравнение этой линии.