Глава 10. Вывод уравнений заранее данных линий

В задачах предыдущего параграфа линия определялась при помощи данного уравнения. Здесь мы будем иметь задачи противоположного характера; в каждой из них линия определяется чисто геометрически, а уравнение ее требуется найти.

ПРИМЕР 1. В декартовой прямоугольной системе координат вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек (-а; 0) и (а; 0) есть величина постоянная, равная .

РЕШЕНИЕ. Обозначим буквой М произвольную точку линии, буквами х и у обозначим координаты этой точки. Так как точка М может занимать на линии любое положение то х и у являются переменными величинами; их называют текущими координатами.

Запишем геометрическое свойство линии символически:

(1).

В этом отношении при движении точки М могут меняться длины и . Выразим их через текущие координаты точки М:

, (2)

Подставив полученные выражения в равенство (1), найдем уравнение, связывающее координаты х, у точки М:

Это и есть уравнение данной линии.

Действительно, для каждой точки М, лежающей на этой инии, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты точки М будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки М, не лежащей на линии, не будет выполняться условие (1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2).

Таким образом, задача решена. Однако уравнение (2) можно упростить; раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение данной линии в виде:

Теперь легко понять, что данная линия есть окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а.

 

ПРИМЕР 2. В полярной системе координат вывести уравнение окружности, которая имеет центр С(; ) и радиус r (см. рис.).

РЕШЕНИЕ. Олозначим буквой М произвольную точку окружности, буквами и - ее полярные координаты. Так как точка М может занимать на окружности любое положение, то и являются переменными величинами. Как и в случае декартовой системы, их называют текущими координатами.

Все точки окружности отстоят от центра на расстоянии r; запишем это условие символически:

(1).

Выразим СМ через текущие координаты точки М (воспользуемся теоремой косинусов):

.

Подставив полученное выражение в равенство (1), найдем уравнение, связывающее координаты , точки М:

(2)

Это и есть уравнение данной окружности.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной окружности, выполняется условие (1) и , следовательно, координаты точки М будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки М, не лежащей на данной окружности, не будет выполняться условие (1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2).

Таким образом, задача решена. Можно лишь несколько упростить полученное уравнение и представить его в виде, свободным от радикала:

.

174		Вывести уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от координатных осей.
175		Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии а от оси Оу.
176		Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии b от оси Ох.
177		Из точки Р(6; -8) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью абсцисс. Составить уравнение геометрического места их середин.
178		Из точки С(10; -3) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью ординат. Составить уравнение геометрического места их середины.
179		Вывести уравнение траектории точки, которая в каждый момент движения одинаково удалена от точек:
	179.1	А(3; 2) и В(2; 3);
	179.2	А(5; -1) и В(1; -5);
	179.3	А(5; -2) и В(-3; -2);
	179.4	А(3; -1) и В(3; 5).
180		Составить уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний которых до точек А(-а; 0) и В(а; 0) равна с.
181		Вывести уравнение окружности, имеющей центр в начале координат и радиус r.
182		Вывести уравнение окружности, имеющей, имеющей центр С(; ) и радиус r.
183		Дано уравнение окружности . Составить уравнение геометрического места середин тех хорд этой окружности, длина которых равна 8.
184		Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до точек А(-3; 0) и В(3; 0) равна 50.
185		Ввершины квадрата суть точки А(а; а), В(-а; а), С(-а; -а) и D(а; -а). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до сторон этого квадрата есть величина постоянная, равна 6а2.
186		Через начало координат проведены всевозможные хорды окружности . Составить уравнение геометрического места середин этих хорд.
187		Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(-3; 0), F2(3; 0) есть величина постоянная, равная 10.
188		Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(-5; 0), F2(5; 0) есть величина постоянная, равная 6.
189		Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки F(3; 0) равно расстоянию до данной прямой .
190		Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(-c; 0), F2(c; 0) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется эллипсом, точки F1 и F2 – фокусами эллипса. Доказать, что уравнение эллипса имеет вид , где .
191		Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(-c; 0), F2(c; 0) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется гиперболой, точки F1 и F2 – фокусами гиперболы. Доказать, что уравнение гиперболы имеет вид , где .
192		Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки F(p/2; 0) равно расстоянию до данной прямой x=-p/2. Это геометрическое место называется параболой, точка F – фокусом параболы, данная прямая – ее директрисой.
193		Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки F(-4; 0) к расстоянию до данной прямой равно 4/5.
194		Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки F(-5;0) к расстоянию до данной прямой равно 5/4.
195		Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей , равны между собой.
196		Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей , равны между собой.
197		Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до данной окружности и до данной прямой равны между собой.
198		Прямая перпендикулярна полярной оси и отсекает на ней отрезок, равный 3. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.
199		Луч выходит из полюса и наклонен к полярной оси под углом . Составить уравнение этого луча в полярных координатах.
200		Прямая проходит через полюс и наклонена к полярной оси под углом 450. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.
201		В полярных координатах составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от полярной оси равны 5.
202		Окружность радиуса R=5 проходит через полюс, ее центр лежит на полярной оси. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.
203		Окружность радиуса R=3 касается полярной оси в полюсе. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.