Глава 7. Преобразование координат

Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

, .

Здесь x, y - координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей, a, b - координаты нового начала O’ относительно старых осей (говорят также, что a - величина сдвига в направлении оси абсцисс, b - величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

, .

Здесь x, y суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы

,

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол . Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

127		Написать формулы преобразований координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку:
	127.1	А(3; 4);
	127.2	B(-2; 1);
	127.3	C(-3; 5).
128		Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку O’(3; -4). Координаты точек А(1; 3), B(-3; 0), C(-1; 4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.
129		Даны точки A(2; 1), B(-1; 3), C(-2; 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей):
	129.1	в точку А;
	129.2	в точку В;
	129.3	в точку С.
130		Определить старые координаты начала O’ новой системы, если формулы преобразования заданы следующими равенствами:
	130.1	, ;
	130.2	, ;
	130.3	, ;
	130.4	, ;
131		Написать формулы преобразований координат, если координатные оси повернуты на один из следующих углов:
	131.1	600;
	131.2	–450;
	131.3	900;
	131.4	–900;
	131.5	1800.
132		Координатные оси повернуты на угол =600. Координаты точек А(; -4), B(; 0), C(0; ) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе.
133		Даны точки M(3; 1), N(-1; 5), P(-3; -1). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повернуты на угол:
	133.1	–450;
	133.2	900;
	133.3	–900;
	133.4	1800.
134		Определить угол , на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:
	134.1	, ;
	134.2	, ;
135		Определить координаты точки O’ – нового начала координат, если точка А(3; -4) лежит на новой оси абсцисс, а точка B(2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.
136		Написать формулы преобразования координат, если точка M1(2; -3) лежит на новой оси абсцисс, а точка M2(1; -7) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.
137		Две системы координатных осей Ox, Oy и Ox’, Oy’ имеют общее начало О и преобразуются одна в дргую поворотом на некоторый угол. Координаты точки А(3; –4) определены относительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ox’ определено отрезком .
138		Начало координат перенесено в точку O’(-1; 2), координатные оси повернуты на угол . Координаты точек M1(3; 2), M2(2; -3), M3(13; -13) определены в новой системе. Вычислить координаты эти же точек в старой системе координат.
139		Даны точки A(5; 5), B(2; -1), C(12; -6). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а координатные оси повернуты на угол .
140		Определить старые координаты нового начала и угол , на который повернуты оси, если формулы преобразвоания координат заданы следующими равенствами:
	140.1	, ;
	140.2	, ;
	140.3	, ;
141		Даны точки M1(9; -3), M2(-6; 5). Начало координат перенесено в точку M1, а координатные оси повернуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка . Вывести формулы преобразования координат.
142		Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(1; 2) и полярные координаты точек M1(7; /2), M2(3; 0), M3(5; -/2), M4(2; 2/3), M5(2; -/6). Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе координат.
143		Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек M1(5; /4), M2(3; -/4), M3(1; 3/4), M4(6; -3/4), M5(2; -/12). Определить декартовы прямоугольные ординаты этих точек.
144		Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(3; 2) и точек M1(5; 2), M2(3; 1), M3(3; 5), M4(, ), M5(; 3). Определить полярные координаты этих точек.
145		Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны декартовы координаты точек M1(-1; 1), M2(; ), M3(1; ), M4(, 1), M5(, -2). Определить полярные координаты этих точек.