Глава 3. Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).

Символ М(; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .

Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

, .

В этом же случае формулы

,

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

26		Построить точки, заданные полярными координатами: A(3; p /2), B(2; p ), C(3; -p /4), D(4; 22/7), E(5; 2) и F(1; -1).
27		Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам M1(3; p /4), M2(2; -p /2), M3(3; -p /3), M4(1; 2), M5(5; -1), заданным в полярной системе координат.
28		Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам M1(1; p /4), M2(5; p /2), M3(2; -p /3), M4(4; 5p /6), M5(3; -2), заданными в полярной системе координат.
29		В полярной системе координат даны две вершины А(3; -4p /9) и B(5; 3p /14) параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма.
30		В полярной системе координат даны токи A(8; p /2) и B(6; p /3). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В.
31		В полярной системе координат даны точки А(3; p /2), B(2; -p /4), C(1; p ), D(5; -3p /4), E(3; 2), F(2; -1). Положительное направление полярной оси изменено на противоположное. Определить полярные координаты заданных точек в новой системе.
32		В полярной системе координат даны точки M1(3, p /3), M2(1; 2p /3), M3(2; 0), M4(5; p /4), M5(3; -2p /3), M6(1; 11p /12). Полярная ось повернута так, что в новом положении она проходит через точку M1. Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе.
33		В полярной системе координат даны точки М1(12; 4p /9), M2(12; -2p /9). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки М1 и М2.
34		В полярной системе координат даны точки М1(r 1, q 1) и М2(r 2, q 2). Вычислить расстояние d между ними.
35		В полярной системе координат даны точки М1(5; p /4), М2(8; -p /2). Вычислить расстояние d между ними.
36		В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата М1(12; -p /10), М2(3; p /15). Определить его площадь.
37		В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата P(6; -7p /12), Q(4; p /6). Определить его площадь.
38		В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника А(4; -p /12), B(8; 7p /12). Определить его площадь.
39		Одна из вершин треугольника OAB находится в полюсе, две другие суть точки А(r 1, q 1) и В(r 2, q 2). Вычислить площадь этого треугольника.
40		Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки А(5; p /4), B(4, p /12). Вычислить площадь этого треугольника.
41		Вычислить площадь треугольника, вершины которого А(3; p /8), B(8; 7p /4), C(6; 5p /8) заданы в полярных координатах.
42		Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки M1(6; p /2), M2(5; 0), M3(2; p /4), M4(10; -p /3), M5(8; 2p /3), M6(12; -p /6). Определить декартовы координаты этих точек.
43		Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки М1(0; 5), M2(-3; 0); M3(; 1), M4(; ), M5(1; ). Определить полярные координаты этих точек.