Глава 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой

Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, огрниченный какими-нибудь точками A и B, называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая – концом. Направленный отрезок с началом A и концом B обозначается символом . Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т.е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка обозначается символом , его длина – символом . Если точки A и B совпадают, то определяемый ими отрезок называется нулевым; очеидно, в этом случае АВ=ВА=0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределенным).

Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат.

Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число x, равное величине отрезка ОМ:

Точка О называется началом координат; ее собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М(х) означает, что точка М имеет координату х.

Если и - две произвольные точки прямой а, то формула

выражает величину отрезка , формула

выражает его длину.

1		Построить точки А(3), В(5), С(-1), D(2/3), Е(-3/7),, .
2		Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям:
	2.1
	2.2
	2.3
	2.4
3		Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
	3.1	x>2
	3.2	x – 3? 0
	3.3	12 – x <0
	3.4	2x – 3 ? 0
	3.5	3x – 5 >0
	3.6	1 < x < 3
	3.7	–2 < x < 3
	3.8
	3.9
	3.10
	3.11
	3.12	x2 – 8x +15 ? 0
	3.13	x2 – 8x + 15 >0
	3.14	x2 + x – 12>0
	3.15	x2 + x -12? 0
4		Определить величину АВ и длину отрезка, заданного точками:
	4.1	А(3) и В(11)
	4.2	А(5) и В(2)
	4.3	А(-1) и В(3)
	4.4	А(-5) и В(-3)
	4.5	А(-1) и В(-3)
	4.6	А(-7) и В(-5)
5		Вычислить координату точки А, если известны:
	5.1	В(3) и АВ=5
	5.2	В(2) и АВ=-3
	5.3	В(-1) и ВА=2
	5.4	В(-5) и ВА=-3
	5.5	В(0) и =2
	5.6	В(2) и =3
	5.7	В(-1) и =5
	5.8	В(-5) и =2
6		Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравенствам:
	6.1
	6.2
	6.3
	6.4
	6.5
	6.6
	6.7
	6.8
	6.9
	6.10
	6.11
	6.12
7		Определить отношение l =AC/CB, в котором точка С делит отрезок АВ при следующих данных:
	7.1	А(2), В(6), С(4)
	7.2	А(2), В(4), С(7)
	7.3	А(-1), В(5), С(3)
	7.4	А(1), В(13), С(5)
	7.5	А(5), В(-2), С(-5)
8		Даны три точки А(-7), В(-1), С(1). Определить отношение l , в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
9		Определить отношение l =М1М/ММ2, в котором данная точка М(х) делит отрезок М1М2, ограниченный точками М1(х1) и М2(х2).
10		Определить координату х точки М, деляющей отрезок М1М2, ограниченный данными точками М1(х1) и М2(х2), в данном отношении l (l =М1М/ММ2).
11		Определить координату х середины орезка, ограниченного данными точками М1(х1) и М2(х2).
12		Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками, в каждом из следующих случаев:
	12.1	А(3) и В(5)
	12.2	С(-1) и D(5)
	12.3	M1(-1) и M2(-3)
	12.4	P1(-5) и P2(1)
	12.5	Q1(3) и Q2(-4)
13		Определить координату точки М, если известны:
	13.1	М1(3), М2(7) и l =М1М/ММ2=2
	13.2	А(2), В(-5) и l =АМ/МВ=3
	13.3	С(-1), D(3) и l =CM/MD=1/2
	13.4	А(-1), В(3) и l =АМ/МВ=-2
	13.5	А(1), В(-3) и l =ВМ/МА=-3
	13.6	А(-2), В(-1) и l =ВМ/МА=-1/2
14		Даны две точки А(5) и В(-3). Определить:
	14.1	координату точки M, симметричной точке А относительно точки В
	14.2	координату точки N, симметричной точке В относительно точки А
15		Даны две точки А(5) и В(19), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
16		Определить координаты концов А и В отрезка, который точками P(-25) и Q(-9) разделен на три равные части.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/