Задача 0888

Даны две точки F₁(—с; 0; 0) и F₂(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии а>0, с>0; а>с..

Р е ш е н и е. Обозначим буквой М произвольную точку пространства, буквами х, у, z — её координаты. Так как точка М может занимать любое положение, то х, у и z являются переменными величинами; их называют текущими координатами.

Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том случае, когда

MF₁ + MF₂ = 2a (1)

Это есть определение поверхности, выраженное символически. Выразим MF₁ и MF₂ — через текущие координаты точки М:

MF₁ = , MF₂ = .

Подставим полученные выражения в равенство (1). Тем самым мы найдём уравнение

(2)

которое связывает текущие координаты х, у, z. Это и есть уравнение данной поверхности.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной поверхности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты такой точки будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки, не лежащей на поверхности, условие (1) не будет выполняться и, следовательно, её координаты не будут удовлетворять уравнению (2). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют целью представить уравнение поверхности в более простом виде.

Уединим в уравнении (2) первый радикал:

возведём обе части этого равенства в квадрат и раскроем скобки; мы получим:

x² + 2cx+с²+y² + z² =4а² — 4а

или а

Снова, освобождаясь от радикала, найдём:

a²x² — 2a²cx + а²с² + a² y² + a² z² = a⁴ — 2а²сх + с²x²,

или

(а² — с²) х² + a²y² + a²2² = а² (а² — с²). (3)

Так как а > с, то а² — с² > 0; положительное число a² — с² обозначим через b2. Тогда уравнение (3) примет вид

b²x² + а²y + a²z² = a²b²

или

Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом вращения. Урав­нение (4) называется каноническим уравнением этого эллипсоида.

.