Глава 41. Уравнения прямой

Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совместно заданием двух уравнений первой степени

, (1)

при условии, что коэффициенты , , первого из них не пропорциональны коэффициентам , , второго (в противном случае эти уравнения будут определять параллельные или слившиеся плоскости).

Пусть некоторая прямая a определена уравнениями (1), и - какие угодно числа, одновременно не равные нулю; тогда уравнение

(2)

определяет плоскость, проходящую через прямую а.

Уравнением вида (2) (при соответствующем выборе чисел , ) можно определить любую плоскость, проходящую через прямую а.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида (2) называется уравнением пучка плоскостей.

Если , то полагая , уравнение (2) можно привести к виду

. (3)

В таком виде уравнение пучка плоскостей более употребительно, чем уравнение (2), однако уравнением (3) можно определить все плоскости пучка, за исключением той, которая соответствует , то есть за исключением плоскости .