Глава 23. Центр линии второго порядка

Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:

(1)

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S(, ) является центром линии, определяемой уравнением (1), в том и только в том случае, когда ее кординаты удовлетворяют уравнениям:

, (2)

Обозначим через определитель этой системы:

.

Величина составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

Если , то система (2) является совместной и определенной, то есть имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам

, .

Неравенство служит признаком центральной линии второго порядка.

Если S(, ) - центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам

,

(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее уравнение примет вид

где A, B, C те же, что в данном уравнении (1), а определяется формулой

.

В случае имеет место также следующая формула:

,

где

.

Определитель называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.

Текст издания:	© Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач:	© Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное ;-)