Глава 44. Сфера

Глава 44. Сфера

В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр и радиус r, определяется уравнением . Сфера радиуса r, центр которой находится в начале координат, имеет уравнение .

1084 Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:

1084.1 сфера имеет центр С(0; 0; 0) и радиус r=9;

1084.2 сфера имеет центр С(5; -3; 7) и радиус r=2;

1084.3 сфера проходит через начало координат и имеет центр С(4; -4; -2);

1084.4 сфера проходит через точку А(2; -1; -3) и имеет центр С(3; -2; 1);

1084.5 точки А(2; -3; 5) и В(4; 1; -3) являются концами одного из диаметров сферы;

1084.6 центром сферы является начало координат и плоскость является касательной к сфере;

1084.7 сфера имеет центр С(3; -5; -2) и плоскость является касательной к сфере;

1084.8 сфера проходит через точки М₁(3; 1; -3), М₂(-2; 4; 1), М₃(-5; 0; 0), а ее центр лежит на плоскости ;

1084.9 сфера проходит через точки М₁(1; -2; -1), М₂(-5; 10; -1), М₃(4; 1; 11), М₄(-8; -2; 2).

1085 Составить уравнение сфера радиуса r=3, касающейся плоскости в точке М₁(1; 1; -3).

1086 Вычислить радиус R сферы, которая касается плоскостей , .

1087 Сфера, центр которой лежит на прямой , , касается плоскостей , . Составить уравнение этой сферы.

1088 Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей , , причем одной из них в точке М₁(5; -1; -1).

1089 Составить уравнение сферы с центром С(2; 3; -1), которая отсекает от прямой , хорду, имеющую длину, равную 16.

1090 Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной одним из следующих уравнений:

1090.1 ;

1090.2 ;

1090.3 ;

1090.4 ;

1090.5 .

1091 Составить параметрические уравнение диаметра сферы , перпендикулярного к плоскости .

1092 Составить канонические уравнения диаметра сферы , параллельного прямой , , .

1093 Установить, как расположена точка А(2; -1; 3) относительно каждой из следующих сфер – внутри, вне или на поверхности:

1093.1 ;

1093.2 ;

1093.3 ;

1093.4 ;

1093.5 .

1094 Вычислить кратчайшее расстояние от точки А до данной сферы в следующих случаях:

1094.1 А(-2; 6; -3), ;

1094.2 А(9; -4; -3), ;

1094.3 А(1; -1; 3), .

1095 Определить, как расположена плоскость относительной сферы – пересекает ли, касается или проходит вне ее; плоскость и сфера заданы следующими уравнениями:

1095.1 , ;

1095.2 , ;

1095.3 , .

1096 Определить, как расположена прямая относительно сферы – пересекает ли, касается или проходит вне ее; прямая и сфера заданы следующими уравнениями:

1096.1 , , , ;

1096.2 , ;

1096.3 , , .

1097 На сфере найти точку М₁, ближайшую к плоскости , и вычислить расстояние d от точки М₁ до этой плоскости.

1098 Определить центр С и радиус R окружности , .

1099 Точки А(3; -2; 5), В(-1; 6; -3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1; -4; 1). Составить уравнения этой окружности.

1100 Точка С(1; -1; -2) является центром окружности, отсекающей от прямой , хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения этой окружности.

1101 Составить уравнения окружности, проходящей через точки М₁(3; -1; -2), М₂(1; 1; -2), М₃(-1; 3; 0).

1102 Даны сферы , , которые пересекаются по окружности, лежащей в некоторой плоскости . Доказать, что любая сфера, проходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость могут быть представлены уравнением вида при надлежащем выборе чисел и .

1103 Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения сфер , .

1104 Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность , .

1105 Составить уравнение сферы, проходящей через окружность , и точку А(2; -1; 1).

1106 Составить уравнение сферы, проходящей через окружности , и , .

1107 Составить уравнение касательной плоскости к сфере в точке М₁(6; -3; -2).

1108 Доказать, что плоскость касается сферы . Вычислить координаты точки касания.

1109 При каких значения а плоскость касается сферы .

1110 Составить уравнение касательной плоскости к сфере в точке М₁(-1; 3; 0).

1111 Точка М₁(x₁; y₁; z₁) лежит на сфере . Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М₁.

1112 Вывести условие, при котором плоскость касается сферы .

1113 Точка М₁(x₁; y₁; z₁) лежит на сфере . Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М₁.

1114 Через точки пересечения прямой , , и сферы проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения.

1115 Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере и параллельных плоскости .

1116 Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере и параллельных плоскости .

1117 Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере и параллельных прямым , .

1118 Доказать, что через прямую , можно провести две плоскости, касательные к сфере , и составить их уравнения.

1119 Доказать, что через прямую нельзя провести плоскость, касательную к сфере .

1120 Доказать, что через прямую , , можно провести только одну плоскость, касательную к сфере , и составить ее уравнение.

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

1084		Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:
	1084.1	сфера имеет центр С(0; 0; 0) и радиус r=9;
	1084.2	сфера имеет центр С(5; -3; 7) и радиус r=2;
	1084.3	сфера проходит через начало координат и имеет центр С(4; -4; -2);
	1084.4	сфера проходит через точку А(2; -1; -3) и имеет центр С(3; -2; 1);
	1084.5	точки А(2; -3; 5) и В(4; 1; -3) являются концами одного из диаметров сферы;
	1084.6	центром сферы является начало координат и плоскость является касательной к сфере;
	1084.7	сфера имеет центр С(3; -5; -2) и плоскость является касательной к сфере;
	1084.8	сфера проходит через точки М₁(3; 1; -3), М₂(-2; 4; 1), М₃(-5; 0; 0), а ее центр лежит на плоскости ;
	1084.9	сфера проходит через точки М₁(1; -2; -1), М₂(-5; 10; -1), М₃(4; 1; 11), М₄(-8; -2; 2).
1085		Составить уравнение сфера радиуса r=3, касающейся плоскости в точке М₁(1; 1; -3).
1086		Вычислить радиус R сферы, которая касается плоскостей , .
1087		Сфера, центр которой лежит на прямой , , касается плоскостей , . Составить уравнение этой сферы.
1088		Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей , , причем одной из них в точке М₁(5; -1; -1).
1089		Составить уравнение сферы с центром С(2; 3; -1), которая отсекает от прямой , хорду, имеющую длину, равную 16.
1090		Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной одним из следующих уравнений:
	1090.1	;
	1090.2	;
	1090.3	;
	1090.4	;
	1090.5	.
1091		Составить параметрические уравнение диаметра сферы , перпендикулярного к плоскости .
1092		Составить канонические уравнения диаметра сферы , параллельного прямой , , .
1093		Установить, как расположена точка А(2; -1; 3) относительно каждой из следующих сфер – внутри, вне или на поверхности:
	1093.1	;
	1093.2	;
	1093.3	;
	1093.4	;
	1093.5	.
1094		Вычислить кратчайшее расстояние от точки А до данной сферы в следующих случаях:
	1094.1	А(-2; 6; -3), ;
	1094.2	А(9; -4; -3), ;
	1094.3	А(1; -1; 3), .
1095		Определить, как расположена плоскость относительной сферы – пересекает ли, касается или проходит вне ее; плоскость и сфера заданы следующими уравнениями:
	1095.1	, ;
	1095.2	, ;
	1095.3	, .
1096		Определить, как расположена прямая относительно сферы – пересекает ли, касается или проходит вне ее; прямая и сфера заданы следующими уравнениями:
	1096.1	, , , ;
	1096.2	, ;
	1096.3	, , .
1097		На сфере найти точку М₁, ближайшую к плоскости , и вычислить расстояние d от точки М₁ до этой плоскости.
1098		Определить центр С и радиус R окружности , .
1099		Точки А(3; -2; 5), В(-1; 6; -3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1; -4; 1). Составить уравнения этой окружности.
1100		Точка С(1; -1; -2) является центром окружности, отсекающей от прямой , хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения этой окружности.
1101		Составить уравнения окружности, проходящей через точки М₁(3; -1; -2), М₂(1; 1; -2), М₃(-1; 3; 0).
1102		Даны сферы , , которые пересекаются по окружности, лежащей в некоторой плоскости . Доказать, что любая сфера, проходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость могут быть представлены уравнением вида при надлежащем выборе чисел и .
1103		Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения сфер , .
1104		Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность , .
1105		Составить уравнение сферы, проходящей через окружность , и точку А(2; -1; 1).
1106		Составить уравнение сферы, проходящей через окружности , и , .
1107		Составить уравнение касательной плоскости к сфере в точке М₁(6; -3; -2).
1108		Доказать, что плоскость касается сферы . Вычислить координаты точки касания.
1109		При каких значения а плоскость касается сферы .
1110		Составить уравнение касательной плоскости к сфере в точке М₁(-1; 3; 0).
1111		Точка М₁(x₁; y₁; z₁) лежит на сфере . Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М₁.
1112		Вывести условие, при котором плоскость касается сферы .
1113		Точка М₁(x₁; y₁; z₁) лежит на сфере . Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М₁.
1114		Через точки пересечения прямой , , и сферы проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения.
1115		Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере и параллельных плоскости .
1116		Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере и параллельных плоскости .
1117		Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере и параллельных прямым , .
1118		Доказать, что через прямую , можно провести две плоскости, касательные к сфере , и составить их уравнения.
1119		Доказать, что через прямую нельзя провести плоскость, касательную к сфере .
1120		Доказать, что через прямую , , можно провести только одну плоскость, касательную к сфере , и составить ее уравнение.