Глава 40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где , , - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Пусть - какая угодно точка пространства, d - расстояние от нее до данной плоскости. Отклонением точки от данной плоскости называется число +d, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число -d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка имеет координаты , , , а плоскость задана нормальным уравнением

,

то отклонение точки от этой плоскости дается формулой

.

Очевидно, .

Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирущий множитель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

956		Определить, какие из следующих уравнений плоскостей являются нормальными:
	956.1	;
	956.2	;
	956.3	;
	956.4	;
	956.5	;
	956.6	;
	956.7	;
	956.8	;.
	956.9	;
	956.10	;
	956.11	;
	956.12	.
957		Привести каждое из следующих уравнений плоскостей к нормальному виду:
	957.1	;
	957.2	;
	957.3	;
	957.4	;
	957.5	;
	957.6	;
	957.7	;
	957.8	;
	957.9	;
	957.10	.
958		Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы , , , образуемые нормальню с осями координат, и расстояние р от начала координат:
	958.1	;
	958.2	;
	958.3	;
	958.4	;
	958.5	;
	958.6	;
	958.7	;
	958.8	;
	958.9	;
	958.10	.
959		Вычислиь величину отклонения и расстояние d от точки до плоскости в каждом из следующих случаев:М2(2; -1; -1), ;
	959.1	М1(-2; -4; 3), ;
	959.2	М3(1; 2; -3), ;
	959.3	М3(1; 2; -3), ;
	959.4	М4(3; -6; 7), ;
	959.5	М5(9; 2; -2), .
960		Вычислить расстояние d от точки Р(-1; 1; -2) до плоскости, проходящей через точки М1(1; -1; 1), М2(-2; 1; 3), М3(4; -5; -2).
961		Определить, лежит ли точка Q(2; -1; 1) и начало координат по одну или по разные стороны относительно каждой из следующих плоскостей:
	961.1	;
	961.2	;
	961.3	;
	961.4	;
	961.5	;
	961.6	.
962		Доказать, что плоскость пересекает отрезок, ограниченный точками М1(3; -2; 1) и М2(-2; 5; 2).
963		Доказать, что плоскость не пересекает отрезка, ограниченного точками М1(1; 4; -3) и М2(2; 5; 0).
964		В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между параллельными плоскостями:
	964.1	, ;
	964.2	, ;
	964.3	, ;
	964.4	, ;
	964.5	, ;
	964.6	, .
965		Две грани куба лежат на плоскостях , . Вычислить объем этого куба.
966		На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости на расстояние d=4.
967		На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки М(1; -2; 0) и от плоскости .
968		На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух плоскостей , .
969		Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости равно 2.
970		Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости равено –3.
971		Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстояние d=5.
972		В каждом из следующих случаев составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей:
	972.1	, ;
	972.2	, ;
	972.3	, .
973		В каждом из следующих случаев составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные двумя пересекающимися плоскостями:
	973.1	, ;
	973.2	, ;
	973.3	, .
974		В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка М(2; -1; 3) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:
	974.1	, ;
	974.2	, ;
	974.3	, .
975		В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки М(2; -1; 1) и N(1; 2; -3) в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:
	975.1	, ;
	975.2	, .
976		Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями , .
977		Определить, лежит ли точка М(3; 2; -1) внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями , .
978		Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями , , в котором лежит начало координат.
979		Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями , , в котором лежит точка М(1; 2; -3).
980		Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями , .
981		Составить уравнение плоскости, которая делит пополам тупой двугранный угол, образованный двумя плоскостями , .