Глава 25. Приведение параболического уравнения к простейшему виду

Пусть уравнение

(1)

является параболическим, то есть удовлетворяет условию .

В этом случае линия, определяемая уравнением (1), либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей, то есть сначала преобразовать уравнение (1) при помощиь формул

, . (2)

Угол следует найти из уравнения

; (3)

тогда в новых координатах уравнение (1) приводится либо к виду

, (4)

где , либо к виду

(5)

где .

Дальнейшее упрощение уравнений (4) и (5) достигается путем параллельного перенесения (повернутых) осей.

689		Установить, что каждое из следующих уравнений является параболическим; каждое из них привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:
	689.1	:
	689.2	;
	689.3	.
690		То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:
	690.1	;
	690.2	;
	690.3	.
691		Для любого параболического уравнения доказать, что коэффициенты А и С не могут быть числамы разных знаков и что они одновременно не могут обращаться в нуль.
692		Доказать, что любое параболическое уравнение может быть написано в виде . Доказать, что эллиптические и гиперболические уравнения в таком виде не могут быть написаны.
693		Установить, что следующие уравнения являются параболическими, и записать каждое из них в виде, указанном в задаче 692:
	693.1	;
	693.2	;
	693.3	;
	693.4	;
	693.5	.
694		Доказать, что если уарвнение второй степени является параболическим и написано в виде , то дискриминант его левой части определяется формулой .
695		Доказать, что параболическое уравнение при помощи преобразования , , приводится к виду , где , , а - дискриминант левой части данного уравнения.
696		Доказать, что параболическое уравнение определяет параболу в том и только в том случае, когда . Доказать, что в этом случае параметр параболы определяется формулой .
697		Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти параметр этой параболы:
	697.1	;
	697.2	;
	697.3	;
	697.4	.
698		Доказать, что уравнение второй степени является уравнением вырожденной линии в том и только в том случае, когда =0.
699		Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару параллельных прямых, и найти их уравнения:
	699.1	;
	699.2	;
	699.3	.
700		Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти уравнение этой прямой:
	700.1	;
	700.2	;
	700.3	.

Текст издания: © Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/