Глава 15. Уравнение пучка прямых

Глава 15. Уравнение пучка прямых

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром в S.

Если и - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение

, (1)

где , - какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S.

Более того, в уравнении (1) числа , всегда возможно подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром в S).

Если , то, деля обе части уравнения (1) на и полагая , получим

. (2)

Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром S, кроме той, которая соответствует , то есть кроме прямой

.

353 Найти центр пучка прямых, данного уравнением .

354 Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых и

354.1 Проходящей через точку А(3; -1);

354.2 Проходящей через начало координат;

354.3 Параллельной оси Ox;

354.4 Параллельной оси Oy;

354.5 Параллельной прямой ;

354.6 Перпендикулярной к прямой .

355 Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , и отсекающий на оси ординат отрезок b=-3. Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых.

356 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых , и делит пополам отрезок, ограниченный точками M₁(5; -6), M₂(-1; -4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

357 Дано уравнение пучка прямых . Написать уравнение прямой этого пучка, проходящей через центр масс однородной треугольной пластинки, вершины которой суть точки A(-1; 2), B(4; -4), C(6; -1).

358 Дано уравнение пучка прямых . Найти прямую этого пука, проходящую через середину отрезка прямой , заключенного между прямыми , .

359 Даны уравнения сторон треугольника , , . Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого трегоульника.

360 Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , под углом 45⁰ к прямой . Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

361 В треугольнике АВС даны уравнения высоты AN: , высоты BN: и стороны АВ: . Не определяя координат вершин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты.

362 Составить уравнения сторон треугольника АВС, зная одну его вершину А(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из одной вершины. Решить задачу, не вычисляя координат вершин В и С.

363 Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключенные между прямыми , , равны .

364 Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что прямая принадлежит этому пучку.

365 Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что прямая не принадлежит этому пучку.

366 Дано уравнение пучка прямых . Найти, при каком значении С прямая будет принадлежать этому пучку.

367 Дано уравнение пучка прямых . Найти, при каких значениях a прямая не будет принадлежать этому пучку.

368 Центр пучка прямых является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

369 Дано уравнение пучка прямых . Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат).

370 Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, отсекающие на координатных осях отрезки равной длины (считая от начала координат).

371 Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, отсекающие от координатных углов треугольники с площадью, равной 9.

372 Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что среди прямых этого пучка существует только одна прямая, отстоящая от точки Р(2; -3) на расстояние . Написать уравнение этой прямой.

373 Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что среди прямых этого пучка нет прямой, отстоящей от точки Р(3; -1) на расстояние d=3.

374 Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , и отстоящей от точки С(-1; 2) на расстояние d=5. Решить задачу, не вычисляя точки пересечения даных прямых.

375 Дано уравнение пучка прямых . Написать уравнения прямых этого пучка, которые вместе с прямыми , образуют равнобедренные треугольники.

376 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых , на одинаковых расстояниях от точек А(3; -2) и В(-1; 6). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

377 Даны уравнения двух пучков прямых , . Не определяя их центров, составить уравнение прямой, принадлежащей обоим пучкам.

378 Стороны АВ, ВС, CD, DA четырехугольника ABCD заданы соответственно уравнениями , , , . Не определяя координат вершин этого четырехугольника, составить уравнения его диагоналей AC и BD.

379 Центр пучка прямых является одной из вершин треугольника, две высоты которого даны уравнениями , . Составить уравнения сторон этого треугольника.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

353		Найти центр пучка прямых, данного уравнением .
354		Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых и
	354.1	Проходящей через точку А(3; -1);
	354.2	Проходящей через начало координат;
	354.3	Параллельной оси Ox;
	354.4	Параллельной оси Oy;
	354.5	Параллельной прямой ;
	354.6	Перпендикулярной к прямой .
355		Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , и отсекающий на оси ординат отрезок b=-3. Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых.
356		Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых , и делит пополам отрезок, ограниченный точками M₁(5; -6), M₂(-1; -4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
357		Дано уравнение пучка прямых . Написать уравнение прямой этого пучка, проходящей через центр масс однородной треугольной пластинки, вершины которой суть точки A(-1; 2), B(4; -4), C(6; -1).
358		Дано уравнение пучка прямых . Найти прямую этого пука, проходящую через середину отрезка прямой , заключенного между прямыми , .
359		Даны уравнения сторон треугольника , , . Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого трегоульника.
360		Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , под углом 45⁰ к прямой . Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
361		В треугольнике АВС даны уравнения высоты AN: , высоты BN: и стороны АВ: . Не определяя координат вершин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты.
362		Составить уравнения сторон треугольника АВС, зная одну его вершину А(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из одной вершины. Решить задачу, не вычисляя координат вершин В и С.
363		Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключенные между прямыми , , равны .
364		Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что прямая принадлежит этому пучку.
365		Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что прямая не принадлежит этому пучку.
366		Дано уравнение пучка прямых . Найти, при каком значении С прямая будет принадлежать этому пучку.
367		Дано уравнение пучка прямых . Найти, при каких значениях a прямая не будет принадлежать этому пучку.
368		Центр пучка прямых является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
369		Дано уравнение пучка прямых . Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат).
370		Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, отсекающие на координатных осях отрезки равной длины (считая от начала координат).
371		Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, отсекающие от координатных углов треугольники с площадью, равной 9.
372		Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что среди прямых этого пучка существует только одна прямая, отстоящая от точки Р(2; -3) на расстояние . Написать уравнение этой прямой.
373		Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что среди прямых этого пучка нет прямой, отстоящей от точки Р(3; -1) на расстояние d=3.
374		Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , и отстоящей от точки С(-1; 2) на расстояние d=5. Решить задачу, не вычисляя точки пересечения даных прямых.
375		Дано уравнение пучка прямых . Написать уравнения прямых этого пучка, которые вместе с прямыми , образуют равнобедренные треугольники.
376		Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых , на одинаковых расстояниях от точек А(3; -2) и В(-1; 6). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
377		Даны уравнения двух пучков прямых , . Не определяя их центров, составить уравнение прямой, принадлежащей обоим пучкам.
378		Стороны АВ, ВС, CD, DA четырехугольника ABCD заданы соответственно уравнениями , , , . Не определяя координат вершин этого четырехугольника, составить уравнения его диагоналей AC и BD.
379		Центр пучка прямых является одной из вершин треугольника, две высоты которого даны уравнениями , . Составить уравнения сторон этого треугольника.