Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.

Если - полярный угол нормали, р - длина отрезка (рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде

;

уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка ; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой. Отклонением точки от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, =0). Если даны координаты , точки и нормальное уравнение прямой , то отклонение точки от этой прямой может быть вычислено по формуле

.

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки . Полученное число будет равно искомому отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: .

Если дано общее уравнение прямой , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель , определяемый формулой

.

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

309		Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:
	309.1	;
	309.2	;
	309.3	;
	309.4	;
	309.5	;
	309.6	;
	309.7	;
	309.8	.
310		Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:
	310.1	;
	310.2	;
	310.3	;
	310.4	;
	310.5	.
311		Даны уравнения прямых. Определить полярный угол нормали и отрезок p для каждой из данных прямых: по полученным значениям параметров и р построить эти прямые на четеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая =300 и q=2).
	311.1	;
	311.2	;
	311.3	;
	311.4	;
	311.5	;
	311.6	;
	311.7	;
	311.8	, q>0, - острый угол.
	311.9	, q>0, - острый угол.
312		Вычислить величину отклонения и расстояние d от точки до прямой в каждом из следующих случаев:
	312.1	A(2; -1), ;
	312.2	B(0; -3), ;
	312.3	P(-2; 3), ;
	312.4	Q(1; -2), .
313		Установить, лежат ли точка М(1; -3) и начало координат по одну или разные стороны каждой из следующих прямых:
	313.1	;
	313.2	;
	313.3	;
	313.4	;
	313.5	.
314		Точка А(2; -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Вычислить площадь этого квадрата.
315		Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(-2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.
316		Доказать, что прямая пересекает отрезок, ограниченный точками А(-5; 1), В(3; 7).
317		Доказать, что прямая не пересекает отрезка, ограниченного точками M1(-2; -3), M2(1; -2).
318		Последовательные вершины четырехугольника суть точки A(-1; 6), B(-1; -4), C(7; -1), D(2; 9). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым.
319		Последовательные вершины четырехугольника суть точки A(-1; 6), B(1; -3), C(4; 10), D(9; 0). Установит, является ли этот четырехугольник выпуклым.
320		Даны вершины треугольника A(-10; -13), B(-2; 3), C(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, оущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.
321		Стороны АВ, ВС, СА треугольника АВС, соответственно даны уравнениями , , . Вычислить расстояние от центра масс этого треугольника до стороны ВС.
322		Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:
	322.1	, ;
	322.2	, ;
	322.3	, ;
	322.4	, .
323		Две стороны квадрата лежат на прямых , . Вычислить его площадь.
324		Доказать, что прямая параллельна прямым , и делит расстояние между ними пополам.
325		Даны параллельные прямые , , . Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.
326		Доказать, что через точку Р(2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(1; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых.
327		Доказать, что через точку Р(2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых.
328		Доказать, что через точку С(7; -2) можно провести только одну прямую так, чтобы расстояние ее от точки А(4; -6) было равно 5. Составить ее уравнение.
329		Доказать, что через точку В(4; -5) невозможно провести прямую, чтобы расстояние от точки С(-2; 3) было равно 12.
330		Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямых равно –2.
331		Составить уравнение прямых, параллельных прямой и отстоящие от нее на расстояние d=3.
332		Даны две смежные вершины квадрата А(2; 0) и В(-1; 4). Составить уравнения его сторон.
333		Точка А(5; -1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
334		Даны уравнения двух сторон квадрата , и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.
335		Даны уравнения двух сторон квадрата , . Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка M1(-3; 5) лежит на стороне этого квадрата.
336		Отклонения точки М от прямых , равны соответственно –3 и –5. Определить координаты точки М.
337		Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А(5; -1) и В(3; 7).
338		Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:
	338.1	, ;
	338.2	, ;
	338.3	, ;
339		Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:
	339.1	, ;
	339.2	, ;
	339.3	, .
340		Составить уравнения прямых, которые проходят через точку Р(2; -1) и вместе с прямыми , образуют равнобедренные треугольники.
341		Определить, лежат ли точки М(1; -2) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:
	341.1	, ;
	341.2	, ;
	341.3	, .
342		Определить, лежат ли точки М(2; 3) и N(5; -1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:
	342.1	, ;
	342.2	, ;
	342.3	, .
343		Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями , , .
344		Определить, лежит ли точка М(-3; 2) внутри или вне треугольника стороны которого даны уравнениями , , .
345		Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми , содержит начало координат.
346		Определить, какой из углов, острый или тупой, образованный двумя прямыми , , содержит точку М(2; -5).
347		Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , в котором лежит начало координат.
348		Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , смежного с углом, содержащего начало координат.
349		Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , в котором лежит точка М(1; -3).
350		Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , смежного с углом, содержащим точку С(2; -1).
351		Составить уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя прямыми , .
352		Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного двумя прямыми , .

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/