Глава 4. Проекция, длина и полярный угол отрезка

Глава 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекция отрезка на координатные оси. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками

Прямолинейный отрезок называется направленным, если указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая - концом. Направленный отрезок, имеющий точку А своим началом и точку В концом (см. рис.), обозначается символом (то есть так же, как отрезок оси). Длина направленного отрезка (при заданном масштабе) обозначается символом (или АВ).

Проекцией отрезка на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка является проекцией точки А на ось u, а точка - проекцией точки В на эту же ось.

Проекция отрезка на ось u обозначается символом . Если на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, то проекция отрезка на ось Ох обозначается символом Х, его проекция на ось Оу - символом Y.

Если известны координаты точек (, ) и (, ), то проекции X и Y направленного отрезка на координатные оси могут быть вычислены по формулам

, .

Таким образом, чтобы найти проекции направленого отрезка на координатные оси, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.

Угол , на который нужно повернуть положительную полуось Ох так, чтобы ее направление совпало с направлением отрезка , называется полярным углом отрезка .

Угол понимается как в тригонометрии. Соответственно этому имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину ида (где n - целое положительное число). Главным значением полярного угла называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам .

Формулы

,

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы

, , ,

которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на координатные оси.

Если на плоскости даны две точки (, ) и (, ),, то расстояние d между ними определяется формулой

.

44 Вычислить проекцию отрезка на ось u, если даны его длина d и угол j наклона к оси:
44.1 d=6, j =p /3;
44.2 d=6, j =2p /3;
44.3 d=7, j =p /2;
44.4 d=5, j =0;
44.5 d=5, j =p ;
44.6 d=4, j = -p /3.
45 Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная их проекции на координатные оси:
45.1 X=3, Y=2;
45.2 X=2, Y=-5;
45.3 X=-5, Y=0;
45.4 X=-2, Y=3;
45.5 X=0, Y=3;
45.6 X=-5, Y=-1;
46 Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку M(2; -1), зная их проекции на координатные оси:
46.1 X=4. Y=3;
46.2 X=2, Y=0;
46.3 X=-3, Y=1;
46.4 X=-4, Y=-2;
46.5 X=0, Y=-3;
46.6 X=1, Y=-3.
47 Даны точки М1(1; -2), М2(2; 1), М3(5; 0), М4(-1; 4), М5(0; -3). Найти проекции на координатные оси следующих отрезков:
47.1
47.2
47.3
47.4
48 Даны проекции X=5, Y=-5 отрезка на координатные оси; зная, что его начало в точке М1(-2; 3), найти координаты его конца.
49 Даны проекции X=4, Y=-5 отрезка на координатные оси; зная, что его конец в точке B(1; -3), найти координаты его начала.
50 Построить на чертеже отрезки, исходящие оиз начала координат, зная длину d и полярный угол q каждого из них:
50.1 d=5, q =p /5;
50.2 d=3, q =5p /6;
50.3 d=4, q =-p /3;
50.4 d=3, q =-4p /3.
51 Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М(2; 3), зная длину и полярный угол каждого из них (координаты точки М декартовы):
51.1 d=2, q =-p /10;
51.2 d=1, q =p /9;
51.3 d=5, q =-p /2ж
52 Вычислить проекции на координатные оси отрезков, зная длину d и полярный угол q каждого из них:
52.1 d=12, q =2p /3;
52.2 d=6, q =-p /6;
52.3 d=2, q =-p /4.
53 Даны проекции отрезков на координатные оси. Вычислить длину каждого из них.
53.1 X=3, Y=-4;
53.2 X=12, Y=5;
53.3 X=-8, Y=6.
54 Даны проекции отрезков на координатные оси. Вычислить длину d и полярный угол q каждого из них.
54.1 X=1, Y=;
54.2 X=, Y=;
54.3 X=, Y=2.
55 Даны точки М1(2; -3), M2(1; -4), M3(-1; -7), M4(-4; 8). Вычислить длину и полярный угол слдующих отрезков:
55.1
55.2
55.3
55.4
56 Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на ось ординат при условии, что он образует с осью ординат:
56.1 Острый угол;
56.2 Тупой угол.
57 Длина отрезка равна 13; его начало в точке М(3; -2), проекция на ось абсцисс равна –12. Найти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат:
57.1 Острый угол;
57.2 Тупой угол.
58 Длина отрезка равна 17, его конец в точке N(-7; 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти координаты начала этого отрезка при условии, что он образует с осью абсцисс:
58.1 Острый угол;
58.2 Тупой угол.
59 Зная проекции X=1, Y= отрезка на координатные оси, найти его проекцию на ось, которая составляет с осью Ox угол q =2p /3.
60 Даны две точки M1(1; -5), M2(4; -1). Найти проекцию отрезка на ось, которая составляет с осью Ox угол q =-p /6.
61 Даны две точки P(-5; 2), Q(3; 1). Найти проекцию отрезка на ось, которая составляет с осью Ox угол
62 Даны две точки M1(2; -2), M2(7; -3). Найти проекцию отрезка на ось, проходящую через точки A(5; -4), B(-7; 1) и направленную:
62.1 от А к В;
62.2 от В к А.
63 Даны точки A(0; 0), B(3; -4), C(-3; 4), D(-2; 2), E(10; -3). Определить расстояние d между точками:
63.1 А и В.
63.2 В и С.
63.3 А и С.
63.4 C и D.
63.5 A и D.
63.6 D и E.
64 Даны две смежные вершины квадрата A(3; -7) и В(-1; 4). Вычислить его площадь.
65 Даны две противоположные вершины квадрата P(3; 5), Q(1; -3). Вычислить его площадь.
66 Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть A(-3; 2), B(1; 6).
67 Даны три вершины А(3; -7), В(5; -7), С(-2; 5) параллелограмма ABCD, четвертая вершина которого D противоположна B. Определить длины диагоналей того параллелограмма.
68 Сторона ромба равна , две его противоположные вершины суть точки P(4; 9), Q(-2; 1). Вычислить площадь этого ромба.
69 Сторона ромба равна , две его противоположные вершины суть точки P(3; -4), Q(1; 2). Вычислить длину высоты этого ромба.
70 Доказать, что точки А(3; -5), В(-2; -7), С(18; 1) лежат на одной прямой.
71 Доказать, что треугольник с вершинами A1(1; 1), A2(2; 3), A3(5; -1) прямоугольный.
72 Доказать, что точки А(2; 2), В(-1; 6), С(-5; 3), D(-2; -1) являются вершинами квадрата.
73 Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами M1(1; 1), M2(0; 2), M3(2; -1) тупой угол.
74 Доказать, что все внутренние углы треугольника с вершинами M(-1; 3), N(1; 2), P(0, 4) острые.
75 Вершины треугольника суть точки A(5; 0), B(0; 1), C(3; 3). Вычислить его внутренние углы.
76 Вершины треугольника суть точки А(; 1), B(0, 2), C(; 2). Вычислить его внешний угол при вершине А.
77 На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние от которой до точки N(2; -3) равнялось бы 5.
78 На оси ординат найти такую точку М, расстояние от которой до точки N(-8; 13 равнялось бы 17.
79 Даны две точки M(2; 2), N(5; -2); на оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол MPN был прямым.
80 Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей. Определить ее центр С и радиус R.
81 Через точку М1(1; -2) проведена окружность радиуса 5, касающаяся оси Ox. Определить центр С окружности.
82 Определить координаты точки М2, симметричной точке М1(1; 2) относительно прямой, проходящей через точки А(1; 0), В(-1; -2).
83 Даны две противоположные вершины квадрата А(3; 0) и С(-4; 1). Найти две его другие вершины.
84 Даны две смежные веришны квадрата А(2; -1) и В(-1; 3). Определить две его другие вершины.
85 Даны вершины треугольника M1(-3; 6), M2(9; -10), M3(-5; 4). Определить центр С и радиус R круга, описанного около этого треугольника.

Текст издания: © Д.В.Клетенник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998
Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/		 Яндекс.Метрика