203.
Владимир Фомин
(22.03.2009 14:01)
0  
Здравствуйте. А вот сегодня нам задали № 576.
Весьма приятно, когда задают задачи, над которыми можно подумать.
Я очень легко решил её примерно таким же способом, как и вы. Однако, решив её, я обратил внимание на то, что в задаче не указано, что эллипс и гипербола заданы в каноническом виде.
Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
В сущности, у них всего лишь фокусы совпадают, причём, только одна пара фокусов. А директрисы их могут быть расположены, как угодно, угол между директрисой эллипса и директрисой гиперболы может быть каким угодно.
k*x+l*y+m=0 - уравнение директрисы эллипса
p*x+q*y+n=0 - уравнение директрисы гиперболы
Эллипс определяется, как множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до фокуса и директрисы k*x+l*y+m=0 есть величина постоянная, меньшая единицы = E1
Гипербола определяется, как множество точек плоскости, отношение расстояний которых до того же фокуса и другой директрисы p*x+q*y+n=0 есть величина постоянная, большая единицы = E2.
(Для нахождения расстояния до директрис их уравнения надо пронормировать).
Получается весьма сложная система из двух уравнений для нахождения точки пересечения эллипса и директрисы.
Потом надо писать уравнения касательных в этой точке к эллипсу и гиперболе, доказывать, что эти касательные перпендикулярны.
Вроде бы задача очень сложная для общего случая. (неканонического произвольного расположения эллипса и гиперболы). Вы рассмотрели только частный случай, когда директрисы эллипса и гиперболы параллельны друг другу.
Линейное преобразование системы координат (параллельный перенос и поворот) не помогут привести общую задачу к данному рассмотренному частному случаю, так как непараллельные друг к другу директрисы эллипса и гиперболы не могут стать параллельными при таком преобразовании.
Таким образом, не доказано пока, что эллипс и гипербола, директрисы которых не параллельны, но фокусы совпадают, пересекаются под прямым углом.
|
