Клетеник Д.В. "Сборник задач по аналитической геометрии", задача 380

Задача 0888

Даны две точки F1(—с; 0; 0) и F2(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии а>0, с>0; а>с..

Р е ш е н и е. Обозначим буквой М произвольную точку пространства, буквами х, у, z — её координаты. Так как точка М может занимать любое положение, то х, у и z являются переменными величинами; их называют текущими координатами.

Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том случае, когда

MF1 + MF2 = 2a (1)

Это есть определение поверхности, выраженное символически. Выразим MF1 и MF2 — через текущие координаты точки М:

MF1 = , MF2 = .

Подставим полученные выражения в равенство (1). Тем самым мы найдём уравнение

(2)

которое связывает текущие координаты х, у, z. Это и есть уравнение данной поверхности.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной поверхности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты такой точки будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки, не лежащей на поверхности, условие (1) не будет выполняться и, следовательно, её координаты не будут удовлетворять уравнению (2). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют целью представить уравнение поверхности в более простом виде.

Уединим в уравнении (2) первый радикал:

возведём обе части этого равенства в квадрат и раскроем скобки; мы получим:

x2 + 2cx+с2+y2 + z2 =4а2 — 4а

или а

Снова, освобождаясь от радикала, найдём:

a2x2 — 2a2cx + а2с2 + a2 y2 + a2 z2 = a4 — 2а2сх + с2x2,

или

2 — с2) х2 + a2y2 + a222 = а22 — с2). (3)

Так как а > с, то а2 — с2 > 0; положительное число a2 — с2 обозначим через b2. Тогда уравнение (3) примет вид

b2x2 + а2y + a2z2 = a2b2

или

Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом вращения. Урав­нение (4) называется каноническим уравнением этого эллипсоида.

.